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La forma correcta es  la primera mensualidad . Los adjetivos ordinales primero y   primera   deben concordar en género y número con el artículo que los acompaña,  el primero,  la primera,  los primeros,  las primeras.

Cuando modifican a un sustantivo también concuerdan en género y número con él. Cabe señalar que, ante sustantivo singular, al ordinal masculino se le suprime la vocal final - o,  primer:  el primer ministro, el primer amor; no así ante sustantivo plural: los primeros ministros, los primeros amores . El femenino  primera , en cambio, conserva siempre la vocal final,  la primera vez ,  la primera oportunidad,  las primeras veces,   las primeras oportunidades.

En el ejemplo que usted señala, el sustantivo  mensualidad  es femenino, por lo que el artículo y el adjetivo ordinal deben concordar:  la primera mensualidad. Es incorrecto suprimir la vocal final:  la primer mensualidad.